Função afim - primeira aula em classe 

                                  Função Afim

É a função definida por f: R=>R. Chama-se de função afim pois existem constantes a e b que pertencem aos conjuntos dos reais. Sua fórmula é a seguinte: f(x)= ax + b .

        Gráfico de uma função Afim :

Função afim - primeira aula

       
                           Função Afim

         Alguns exemplos:

1) f(x) = 2x + 1 (a = 2, b = 1)

2) f(x) = -x + 4 (a = -1, b = 4)

3) f(x) = 31x + 5 (a = 31, b = 5)

4) f(x) = 4x (a = 4, b = 0)

          Valor de uma função afim

 Na função afim f(x) = 5x + 1, podemos determinar:

f(1) = 5 • 1 +1 = 5 + 1 = 6. Logo, f(1) = 6.

f(-3)=5(-3) + 1 = -15 + 1 = -14. Logo, f(-3) = -14.

  Exercícios propostos

1- Dada a função f(x) = -2x + 3, determine:

     a: f(1)

     b: f(0)

2- Determine o que se pede.

   a. Sabendo que f(x+1) = 2x, calcule f(4).

Resolução:

1-a) f(1)

       f(x): -2x + 3

       f(x): -2.1+3 = -2+3= 1

   b) f(0)

       f(x): -2x+3

       f(0): -2.0+3= 3

2- a) f(x+1)= 2x

         f(x+1)= 2.4= 8

                                   Breno Bittencourt

Função Quadrática
  Definição
    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

    Observação:

   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

    Temos:

                    

Observação

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando  é negativo, não há raiz real.
  
  
  Coordenadas do vértice da parábola
     Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
  Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
  
  
  
  
  Imagem
       O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
  1ª - quando a > 0,
  

  a > 0

  
   
  2ª quando a < 0,
  
  

  a < 0

  Construção da Parábola
     É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
• O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
• Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
• O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
• A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
• Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

   Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
    Conforme o sinal do discriminante  = b² - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º -   > 0
   Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1  x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x₁ ou x > x₂)
y < 0 x₁ < x < x₂

quando a < 0

y > 0 x₁ < x < x₂
y < 0  (x < x₁ ou x > x₂)

 Função Quadrática
   

 2º -   = 0

quando a > 0

 

quando a < 0

                 

 

•  
  
  
  
  
   Função Quadrática
     
   3º -   < 0
  

  quando a > 0

  
  

  quando a < 0

  

  

Breno Bittencourt 

Função quadrática

Em matemática, uma função quadrática, é uma função polinomial da forma , onde . O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y. 

A expressão ax2 + bx + c na definição de uma função quadrática é um polinômio de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, porque o maior expoente de x é 2. 

Se a função quadrática é igualada a zero, então o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x. 

O adjetivo quadrática vem da palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra porque representa a área de um quadrado de lado x. 

Em geral, um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados. 

-Breno Bittencourt

Exercícios resolvidos sobre Função Quadrática

- Breno Bittencourt

Video Aula de uma função quadrática

-Breno Bittencourt